等比数列的所有公式

等比数列是数学中的一种常见序列，其特点是任意相邻两项的比值是一个常数，这个常数称为公比。以下是等比数列的一些基本公式：

通项公式

$$a_n = a_1 \\cdot q^{（n-1）}$$

其中，$a_n$ 表示第 $n$ 项，$a_1$ 表示首项，$q$ 表示公比，$n$ 表示项数。

前 $n$ 项和公式

当公比 $q \\neq 1$ 时：

$$S_n = \\frac{a_1（1 - q^n）}{1 - q}$$

当公比 $q = 1$ 时，等比数列变为等差数列，前 $n$ 项和为：

$$S_n = n \\cdot a_1$$

等比中项公式

如果 $a$ 和 $b$ 是等比数列中的两项，$G$ 是它们的等比中项，则：

$$G^2 = a \\cdot b$$

$$G = \\sqrt{a \\cdot b}$$

任意两项的关系

对于等比数列中的任意两项 $a_m$ 和 $a_n$，有：

$$a_n = a_m \\cdot q^{（n-m）}$$

积的关系

从等比数列的定义、通项公式和前 $n$ 项和公式可以推出：

$$a_1 \\cdot a_n = a_2 \\cdot a_{n-1} = \\ldots = a_k \\cdot a_{n-k+1}$$

其中 $k \\in \\{1, 2, \\ldots, n\\}$。

特殊项的计算

等比数列的第 $n$ 项也可以表示为：

$$a_n = S_n - S_{n-1}$$

其中 $S_n$ 是前 $n$ 项和，$S_{n-1}$ 是前 $n-1$ 项和。

以上就是等比数列的基本公式。

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